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El Concepto de Probabilidad en las Matemáticas

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La probabilidad es una forma de expresar conocimiento o creencia de que un evento ocurrirá o ha ocurrido.

El concepto ha recibido un significado matemático exacto en la teoría de la probabilidad, que se utiliza ampliamente en áreas de estudio como matemáticas, estadística, finanzas, juegos de azar, ciencia y filosofía para extraer conclusiones sobre la probabilidad de eventos potenciales y la mecánica subyacente de los complejos sistemas.

La palabra probabilidad no tiene una definición directa consistente. De hecho, hay dos amplias categorías de interpretaciones de probabilidad, cuyos adeptos poseen diferentes puntos de vista sobre la naturaleza fundamental de la probabilidad.

La palabra Probabilidad deriva de la palabra latina probabilitas que también puede significar probidad, una medida de la autoridad de un testigo en un caso legal en Europa, y con frecuencia se correlaciona con la nobleza del testigo. En cierto sentido, esto difiere mucho del significado moderno de probabilidad, que, en contraste, se usa como una medida del peso de la evidencia empírica, y se obtiene del razonamiento inductivo y la inferencia estadística.

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Historia:

El estudio científico de la probabilidad es un desarrollo moderno. El juego muestra que ha habido un interés en cuantificar las ideas de probabilidad por milenios, pero las descripciones matemáticas exactas del uso en esos problemas solo surgieron mucho más tarde.

Según Richard Jeffrey, «Antes de mediados del siglo XVII, el término» probable «significaba aprobable, y se aplicaba en ese sentido, de manera unívoca, a la opinión y a la acción. Una acción u opinión probable era una que las personas sensatas emprenderían o mantendrían, dadas las circunstancias «. [4] Sin embargo, en contextos legales, especialmente,» probable «también podría aplicarse a proposiciones para las cuales existían pruebas convincentes.

Aparte de algunas consideraciones elementales hechas por Girolamo Cardano en el siglo XVI, la doctrina de probabilidades se remonta a la correspondencia de Pierre de Fermat y Blaise Pascal (1654). Christiaan Huygens (1657) dio el primer tratamiento científico conocido del tema. La Doctrine of Chances (1718) de Jakob Bernoulli y Abraham de Moivre trató el tema como una rama de las matemáticas. Vea The Emergence of Probability, de Ian Hacking, y The Science of Conjecture, de James Franklin, para conocer las historias del desarrollo temprano del concepto mismo de probabilidad matemática.

La teoría de los errores se remonta a Roger Cotes, pero una memoria preparada por Thomas Simpson en 1755 (impresa en 1756) aplicó por primera vez la teoría a la discusión de los errores de observación. La reimpresión (1757) de esta memoria establece los axiomas de que los errores positivos y negativos son igualmente probables, y que hay ciertos límites asignables dentro de los cuales se supone que todos los errores deben caer; Se discuten los errores continuos y se da una curva de probabilidad.

Pierre-Simon Laplace (1774) hizo el primer intento de deducir una regla para la combinación de observaciones de los principios de la teoría de probabilidades. Representó la ley de probabilidad de errores mediante una curva y = Ï † (x), siendo x cualquier error e y su probabilidad. También le dio (1781) una fórmula para la ley de facilidad de error (un término debido a Lagrange, 1774), pero uno que llevó a ecuaciones inmanejables. Daniel Bernoulli (1778) introdujo el principio del producto máximo de las probabilidades de un sistema de errores concurrentes.

El método de mínimos cuadrados se debe a Adrien-Marie Legendre (1805), quien lo introdujo en sus Nuevos métodos para determinar las órbitas de los cometas. En ignorancia de la contribución de Legendre, un escritor irlandés-americano, Robert Adrain, editor de «The Analyst» (1808), dedujo por primera vez la ley de la facilidad de error,

h es una constante que depende de la precisión de la observación, y c un factor de escala que garantiza que el área bajo la curva sea igual a 1. Dio dos pruebas, la segunda es esencialmente la misma que la de John Herschel (1850). Gauss dio la primera prueba que parece haber sido conocida en Europa (la tercera después de Adrain) en 1809. Laplace (1810, 1812), Gauss (1823), James Ivory (1825, 1826), Hagen (1837 ), Friedrich Bessel (1838), WF Donkin (1844, 1856) y Morgan Crofton (1870). Otros contribuyentes fueron Ellis (1844), De Morgan (1864), Glaisher (1872) y Giovanni Schiaparelli (1875). La fórmula de Peters (1856) para r, el probable error de una sola observación, es bien conocida.

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En el siglo XIX, los autores de la teoría general incluían a Laplace, Sylvestre Lacroix (1816), Littrow (1833), Adolphe Quetelet (1853), Richard Dedekind (1860), Helmert (1872), Hermann Laurent (1873), Liagre, Didion, y Karl Pearson. Augustus De Morgan y George Boole mejoraron la exposición de la teoría.

Andrey Markov introdujo la noción de cadenas de Markov (1906) jugando un papel importante en la teoría de los procesos estocásticos y sus aplicaciones.

La teoría moderna de la probabilidad basada en la teoría de la medida fue desarrollada por Andrey Kolmogorov (1931).

En el lado geométrico, los contribuyentes a The Educational Times fueron influyentes.

Tipos de probabilidad:

Hay básicamente cuatro tipos de probabilidades, cada una con sus limitaciones. Ninguno de estos enfoques de probabilidad es incorrecto, pero algunos son más útiles o más generales que otros.

Probabilidad clásica:

La interpretación clásica debe su nombre a su pedigrí temprano y augusto. Defendido por Laplace y encontrado incluso en las obras de Pascal, Bernoulli, Huygens y Leibniz, asigna probabilidades en ausencia de evidencia o en presencia de evidencia simétricamente equilibrada.

La teoría clásica de la probabilidad se aplica a eventos igualmente probables, como los resultados de lanzar una moneda o lanzar un dado; Tales eventos fueron conocidos como “equipos”.

probabilidad = número de equipos favorables / número total de equipos relevantes.

Probabilidad lógica:

Las teorías lógicas de la probabilidad retienen la idea de la interpretación clásica de que las probabilidades pueden determinarse a priori mediante un examen del espacio de posibilidades.

Probabilidad subjetiva:

Una probabilidad derivada del juicio personal de un individuo sobre si es probable que ocurra un resultado específico. Las probabilidades subjetivas no contienen cálculos formales y solo reflejan las opiniones del sujeto y la experiencia pasada.

Las probabilidades subjetivas difieren de persona a persona. Debido a que la probabilidad es subjetiva, contiene un alto grado de sesgo personal. Un ejemplo de probabilidad subjetiva podría ser preguntar a los fanáticos de los Yankees de Nueva York, antes de que comience la temporada de béisbol, las posibilidades de que Nueva York gane la serie mundial. Si bien no hay una prueba matemática absoluta detrás de la respuesta al ejemplo, los fanáticos todavía pueden responder en términos porcentuales reales, como que los Yankees tienen un 25% de probabilidad de ganar la serie mundial.

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En el lenguaje cotidiano, expresamos nuestras creencias sobre las probabilidades de eventos utilizando la misma terminología que en la teoría de la probabilidad. A menudo, esto no tiene nada que ver con una definición formal de probabilidad, sino que es una idea intuitiva guiada por nuestra experiencia y, en algunos casos, por las estadísticas.

Algunos de los ejemplos de probabilidad:

X dice: «No compres los aguacates aquí; alrededor de la mitad del tiempo, están podridos «. X está expresando su creencia acerca de la probabilidad de un evento, de que un aguacate estará podrido, basado en su experiencia personal.

Y dice: «Estoy seguro al 95% de que el capital de España es Barcelona». Aquí, la creencia de que Y está expresando es solo una probabilidad desde su punto de vista, porque solo él no sabe que la capital de España es Madrid (desde nuestro punto de vista, la probabilidad es del 100%). Sin embargo, todavía podemos ver esto como una probabilidad subjetiva porque expresa una medida de incertidumbre. Es como si Y dijera que «en el 95% de los casos en los que estoy tan seguro como yo de esto, me sale bien».

Z dice: «Hay menos posibilidades de recibir un disparo en Omaha que en Detroit». Z está expresando una creencia basada (presumiblemente) en las estadísticas.

El Dr. A le dice a Christina: «Hay un 75% de posibilidades de que vivas». El Dr. A está basando esto en su investigación.

La probabilidad también se puede expresar en términos vagos. Por ejemplo, alguien podría decir que probablemente lloverá mañana. Esto es subjetivo, pero implica que el hablante cree que la probabilidad es mayor al 50%.

Las probabilidades subjetivas se han estudiado ampliamente, especialmente en lo que respecta a los juegos de azar y los mercados de valores. Si bien este tipo de probabilidad es importante, no es el tema de este libro.

Hay dos enfoques estándar para las probabilidades de interpretación conceptual. El primero se conoce como el largo plazo (o el enfoque de frecuencia relativa) y la creencia subjetiva (o enfoque de confianza). En la Teoría de la frecuencia de la probabilidad, la probabilidad es el límite de la frecuencia relativa con la que ocurre un evento en los ensayos repetidos (tenga en cuenta que los ensayos deben ser independientes).

Los frecuentes hablan de probabilidades solo cuando tratan con experimentos que son aleatorios y bien definidos. La probabilidad de un evento aleatorio denota la frecuencia relativa de ocurrencia del resultado de un experimento, cuando se repite el experimento. Los frecuentes consideran la probabilidad como la frecuencia relativa «a largo plazo» de los resultados.

Las probabilidades físicas, que también se denominan probabilidades objetivas o de frecuencia, están asociadas con sistemas físicos aleatorios, como las ruedas de la ruleta, los dados rodantes y los átomos radiactivos. En tales sistemas, un tipo determinado de evento (como el dado que produce un seis) tiende a ocurrir a una tasa persistente, o «frecuencia relativa», en un largo período de pruebas. Las probabilidades físicas explican, o se invocan para explicar, estas frecuencias estables. Por lo tanto, hablar de probabilidad física solo tiene sentido cuando se trata de experimentos aleatorios bien definidos. Los dos tipos principales de teoría de la probabilidad física son las cuentas frecuentistas y las cuentas de propensión.

Las frecuencias relativas siempre están entre el 0% (el evento esencialmente nunca ocurre) y el 100% (el evento esencialmente siempre ocurre), por lo que también en esta teoría, las probabilidades están entre el 0% y el 100%. De acuerdo con la Teoría de la Frecuencia de la Probabilidad, lo que significa decir que «la probabilidad de que A ocurra es p%» es que si repites el experimento una y otra vez, independientemente y en condiciones esencialmente idénticas, el porcentaje del tiempo que A Ocurre que converge a la p. Por ejemplo, según la Teoría de la frecuencia, decir que la probabilidad de que una moneda caiga caras es del 50% significa que si lanza la moneda una y otra vez, independientemente, la proporción del número de veces que la moneda cae es la cantidad total. de lanzamientos se aproxima a un valor límite del 50% a medida que aumenta el número de lanzamientos. Debido a que la relación entre caras y lanzamientos está siempre entre 0% y 100%, cuando existe la probabilidad, debe estar entre 0% y 100%.

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En la Teoría subjetiva de la probabilidad, la probabilidad mide el «grado de creencia» del hablante de que el evento ocurrirá, en una escala del 0% (total incredulidad de que el evento ocurrirá) al 100% (certeza de que el evento ocurrirá). Según la Teoría subjetiva, lo que significa para mí decir que «la probabilidad de que A ocurra es de 2/3» es que creo que A sucederá el doble de lo que creo que A no sucederá. La teoría subjetiva es particularmente útil para asignar un significado a la probabilidad de eventos que en principio solo pueden ocurrir una vez. Por ejemplo, ¿cómo se podría asignar un significado a una afirmación como «hay un 25% de probabilidades de que se produzca un terremoto en la falla de San Andrés con una magnitud 8 o mayor antes de 2050?» Es muy difícil usar la teoría de resultados igualmente probables o la Teoría de frecuencia para dar sentido a la afirmación.

Sin embargo, los bayesianos asignan probabilidades a cualquier declaración, incluso cuando no se trata de un proceso aleatorio. La probabilidad, para un bayesiano, es una manera de representar el grado de creencia de un individuo en una declaración, dada la evidencia.

La probabilidad probatoria, también llamada probabilidad bayesiana, puede asignarse a cualquier declaración, incluso cuando no se trata de un proceso aleatorio, como una forma de representar su plausibilidad subjetiva, o el grado en que la declaración está respaldada por la evidencia disponible. En la mayoría de las cuentas, las probabilidades evidenciales se consideran grados de creencia, definidos en términos de disposiciones para apostar a ciertas probabilidades. Las cuatro interpretaciones evidenciales principales son la interpretación clásica, la interpretación subjetiva, la interpretación epistémica o inductiva y la interpretación lógica.

Teoría:

Al igual que otras teorías, la teoría de la probabilidad es una representación de conceptos probabilísticos en términos formales, es decir, en términos que pueden considerarse por separado de su significado. Estos términos formales son manipulados por las reglas de las matemáticas y la lógica, y cualquier resultado se interpreta o traduce nuevamente al dominio del problema.

Ha habido al menos dos intentos exitosos de formalizar la probabilidad, a saber, la formulación de Kolmogorov y la formulación de Cox. En la formulación de Kolmogorov, los conjuntos se interpretan como eventos y la probabilidad misma como una medida en una clase de conjuntos. En el teorema de Cox, la probabilidad se toma como una primitiva y el énfasis está en construir una asignación consistente de valores de probabilidad a proposiciones. En ambos casos, las leyes de probabilidad son las mismas, excepto por detalles técnicos.

Existen otros métodos para cuantificar la incertidumbre, como la teoría de Dempster-Shafer o la teoría de la posibilidad, pero son esencialmente diferentes y no son compatibles con las leyes de la probabilidad, como suele entenderse.

Tratamiento matemático:

En matemáticas, la probabilidad de un evento A está representada por un número real en el rango de 0 a 1 y escrito como P (A), p (A) o Pr (A). Un evento imposible tiene una probabilidad de 0, y un evento determinado tiene una probabilidad de 1. Sin embargo, los conversos no siempre son verdaderos: los eventos de probabilidad 0 no siempre son imposibles, ni los eventos de probabilidad 1 son ciertos.

Lo opuesto o complemento de un evento A es el evento (es decir, el evento de A no ocurre); su probabilidad viene dada por P (no A) = 1 – P (A). Como ejemplo, la posibilidad de no tirar un seis en un dado de seis caras es 1 – (posibilidad de tirar un seis).

Si los eventos A y B ocurren en una sola ejecución de un experimento, esto se llama la intersección o probabilidad conjunta de A y B, denotado como. Si dos eventos, A y B son independientes, entonces la probabilidad conjunta es

Por ejemplo: si se lanzan dos monedas, la probabilidad de que ambas sean cabezas es

Si el evento A o el evento B o ambos eventos ocurren en una sola ejecución de un experimento, esto se denomina la unión de los eventos A y B denotados como. Si dos eventos son mutuamente excluyentes, entonces la probabilidad de que ocurra cualquiera de los dos es

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Por ejemplo, la probabilidad de tirar un 1 o 2 en un dado de seis caras es

Si los eventos no son mutuamente excluyentes entonces

La probabilidad condicional es la probabilidad de algún evento A, dada la ocurrencia de algún otro evento B. La probabilidad condicional se escribe P (A | B), y se lee «la probabilidad de A, dado B». Está definido por

Si P (B) = 0 entonces está indefinido.

Aplicaciones:

Dos aplicaciones principales de la teoría de la probabilidad en la vida cotidiana están en la evaluación del riesgo y en el comercio en los mercados de productos básicos. Por lo general, los gobiernos aplican métodos probabilísticos en la regulación ambiental, donde se denomina «análisis de ruta», a menudo miden el bienestar utilizando métodos que son de naturaleza estocástica y eligen proyectos para emprender basándose en análisis estadísticos de su efecto probable en la población en general.

Un buen ejemplo es el efecto de la probabilidad percibida de cualquier conflicto generalizado en Oriente Medio sobre los precios del petróleo, que tienen efectos dominantes en la economía en general. La evaluación por parte de un comerciante de productos básicos de que una guerra es más probable en comparación con una probabilidad menor hace que los precios suban o bajen, y señala a otros comerciantes de esa opinión. En consecuencia, las probabilidades no se evalúan de forma independiente ni necesariamente muy racional. La teoría de las finanzas del comportamiento surgió para describir el efecto de tal pensamiento grupal sobre los precios, sobre las políticas y sobre la paz y los conflictos.

Se puede decir razonablemente que el descubrimiento de métodos rigurosos para evaluar y combinar las evaluaciones de probabilidad ha tenido un profundo efecto en la sociedad moderna. En consecuencia, puede ser de alguna importancia para la mayoría de los ciudadanos entender cómo se hacen las evaluaciones de probabilidades y probabilidades, y cómo contribuyen a la reputación y a las decisiones, especialmente en una democracia.

Otra aplicación significativa de la teoría de la probabilidad en la vida cotidiana es la confiabilidad. Muchos productos de consumo, como los automóviles y la electrónica de consumo, utilizan la teoría de confiabilidad en el diseño del producto para reducir la probabilidad de falla. La probabilidad de falla puede estar estrechamente asociada con la garantía del producto.

Probabilidad de ganar una lotería:

Todo el mundo sabe que la probabilidad de ganar la lotería es una posibilidad bastante grande. Sin embargo, probablemente nunca pensaste en cuánto tiempo. Sus probabilidades reales de ganar la lotería dependen de dónde juegue, pero las loterías de un solo estado generalmente tienen probabilidades de alrededor de 18 millones a 1, mientras que las loterías de varios estados tienen probabilidades tan altas como de 120 millones a 1.

Si alguna vez pensó que ganaría la lotería, no está solo. Aproximadamente una de cada tres personas en los Estados Unidos piensa que ganar la lotería es la única forma de lograr una seguridad financiera en su vida. Esta es una estadística aterradora cuando se sienta y considera lo que realmente significan las probabilidades anteriores.

Es hora de analizar detenidamente las posibilidades de que gane la lotería. Si bien ganar la lotería puede ser algo que usted desea, para mostrarle sus posibilidades, echaremos un vistazo a una serie de eventos remotos que probablemente no le gustaría que le sucedieran a usted, y que probablemente no crea que alguna vez sucederán. para usted, pero es mucho más probable que le suceda que ganar la lotería.

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¿Qué hay de las probabilidades clásicas de ser alcanzado por un rayo? La probabilidad real de que esto ocurra varía de un año a otro, pero como buena estimación, el National Safety Council dice que entre 70 y 120 personas al año mueren en los EE. UU. Por un rayo, así que tomemos 100 como nuestra base. Dado que la población de EE. UU. Es de aproximadamente 265 millones de personas, eso significa que las posibilidades de ser asesinados por un rayo son aproximadamente de 2.650.000 a 1. No es muy probable. Sin embargo, todavía tiene entre 6 y 45 veces más probabilidades de morir por un rayo que de ganar la lotería.

Ahora nadie realmente quiere morir de bacterias que comen carne, y con probabilidades de alrededor de 1 millón a 1, las probabilidades de que mueras de esa manera son bastante escasas. Por otra parte, tienes entre 18 y 120 veces más probabilidades de morir de esta manera que de ganar la lotería.

¿Cuáles son las posibilidades de que si juegas con un grupo de cuatro, dos de ustedes tengan un hoyo en uno exactamente en el mismo hoyo? Con 17 a 1, son mejores que las posibilidades de que gane la lotería.

¿Qué pasa con morir de una mordedura de serpiente o picadura de abeja? Probablemente no sea una forma de imaginarte que dejarías la Tierra. Eres una friolera de 180 a 1,200 veces más probabilidades de morir a causa de uno de estos incidentes que de ganar la lotería. Esto se debe a que la probabilidad de morir por la mordedura de una serpiente o la picadura de una abeja es de alrededor de 100,000 a 1.

Ahora sé que no eres una mala persona y no te imaginas encontrarte en el corredor de la muerte por un crimen que cometiste pronto. Aún así, es mucho más probable que usted sea ejecutado legalmente en lugar de ganar la lotería. De hecho, tiene un 30,000% a 200,000% más de probabilidades de morir en una ejecución legal que de ganar la lotería.

Si nada de lo anterior te ha convencido de que dejes de jugar a la lotería, te mostraré mi hecho favorito. Si manejas 10 millas para comprar tu boleto de lotería, es tres o veinte veces más probable que te maten en un accidente automovilístico en el camino que para ganar el premio mayor.

Volteando de la moneda:

Lanzar una moneda o lanzar una moneda es la práctica de lanzar una moneda al aire para elegir entre dos alternativas, a veces para resolver una disputa entre dos partes. Es una forma de clasificación que inherentemente tiene solo dos resultados posibles e igualmente probables. El análisis experimental y teórico del lanzamiento de monedas ha demostrado que el resultado es predecible.

Durante el lanzamiento de la moneda, la moneda se lanza al aire de modo que gire varias veces de extremo a extremo. De antemano o cuando la moneda está en el aire, una parte interesada llama «cara» o «cola», indicando qué lado de la moneda está eligiendo esa parte. A la otra parte se le asigna el lado opuesto. Dependiendo de la costumbre, la moneda se puede atrapar, atrapar e invertir, o dejar que caiga al suelo. Cuando la moneda se detiene, el sorteo se completa y la parte que llamó o se le asignó el lado boca arriba se declara ganadora. Si el resultado no está claro, el lanzamiento se repite; por ejemplo, la moneda puede, muy raramente, aterrizar en el borde, o caer por un desagüe.

La moneda puede ser de cualquier tipo siempre que tenga dos caras distintas; no tiene por qué ser una moneda como tal. La intuición humana sobre la probabilidad condicional es a menudo muy pobre y puede dar lugar a algunas observaciones aparentemente sorprendentes. Por ejemplo, si los lanzamientos sucesivos de una moneda se registran como una cadena de “H” y “T”, para cualquier prueba de lanzamiento, es dos veces más probable que la TTH del triplete ocurra antes de la THT que después de la misma. Es tres veces más probable que THH preceda a HHT.

¿Es probable que nos caiga un rayo?

En los Estados Unidos, un rayo mata a un promedio de 80 personas cada año. Considerando que ser asesinado por un rayo es nuestro ‘resultado favorable’ (¡no es un resultado tan favorable!), El espacio muestral contiene a toda la población de los Estados Unidos (alrededor de 250 millones).

Si suponemos que todas las personas en nuestro espacio de muestreo tienen la misma probabilidad de ser asesinadas por un rayo (para que las personas que nunca salen tengan las mismas posibilidades de ser asesinadas por un rayo que las que soportan astas en grandes campos abiertos durante tormentas eléctricas), la probabilidad de ser asesinado por un rayo en los Estados Unidos es de 80/250 millones, o una probabilidad de alrededor de .000032%.

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Claramente, es mucho más probable que mueras en un accidente automovilístico que al ser alcanzado por un rayo.

Probabilidad en nuestras vidas:

Una comprensión básica de la probabilidad hace que sea posible comprender todo, desde los promedios de bateo hasta el informe meteorológico o sus posibilidades de ser alcanzado por un rayo. La probabilidad es un tema importante en las matemáticas porque la probabilidad de que ciertos eventos sucedan, o no sucedan, puede ser importante para nosotros en el mundo real.

Predicción del tiempo:

Supongamos que una persona quiere ir de picnic esta tarde, y el informe del clima dice que la probabilidad de lluvia es del 70%. ¿Alguna vez se preguntará de dónde vino ese 70%?

Pronósticos como estos pueden ser calculados por las personas que trabajan para el Servicio Meteorológico Nacional cuando miran todos los otros días en su base de datos histórica que tienen las mismas características climáticas (temperatura, presión, humedad, etc.) y determinan que en el 70% de días similares en el pasado, llovió.

Como hemos visto, para encontrar la probabilidad básica, dividimos la cantidad de resultados favorables por el número total de resultados posibles en nuestro espacio de muestra. Si estamos buscando la posibilidad de que llueva, este será el número de días en nuestra base de datos que llovió dividido por el número total de días similares en nuestra base de datos. Si nuestro meteorólogo tiene datos durante 100 días con condiciones climáticas similares (el espacio muestral y, por lo tanto, el denominador de nuestra fracción), y en 70 de estos días llovió (un resultado favorable), la probabilidad de lluvia en el siguiente día similar es 70 / 100 o 70%.

Dado que una probabilidad del 50% significa que un evento es tan probable que ocurra como no, el 70%, que es mayor que el 50%, significa que es más probable que llueva que no. Pero, ¿cuál es la probabilidad de que no llueva? Recuerde que dado que los resultados favorables representan todas las formas posibles en que puede ocurrir un evento, la suma de las distintas probabilidades debe ser igual a 1 o 100%, entonces 100% – 70% = 30%, y la probabilidad de que no llueva es 30%.

Pruebas de Bernoulli sobre la probabilidad:

En la vida real sucede muy a menudo que un evento puede tener solo dos resultados importantes. Por ejemplo, ya sea que aprueba un examen o no aprueba el examen, o bien obtiene el trabajo que solicitó o no obtiene el trabajo, o su vuelo se retrasa o se va a tiempo, etc. La abstracción de la teoría de probabilidad de todas esas situaciones son un ensayo de Bernoulli.

El ensayo de Bernoulli es un experimento con solo dos resultados posibles que tienen probabilidades positivas pyq tales que p + q = 1. Se dice que los resultados son «éxito» y «fracaso», y comúnmente se denominan «E» y «F». «O, digamos, 1 y 0.

Por ejemplo, al lanzar un dado, puede que solo nos interese si aparece 1, en cuyo caso, naturalmente, P (E) = 1/6 y P (F) = 5/6. Si, al lanzar dos dados, solo nos interesa si la suma de dos dados es 11, P (E) = 1/18, P (F) = 17/18.

El proceso de Bernoulli es una sucesión de ensayos independientes de Bernoulli con la misma probabilidad de éxito.

Usos de la probabilidad en nuestras vidas diarias:

Creo que utilizamos la probabilidad de manera rutinaria en nuestra vida cotidiana. Cuando subes a un automóvil y conduces por la vía pública, a menudo suponemos que tenemos una baja probabilidad de ser atropellado por otro automóvil. Cuando se retira en una calle concurrida que cruza 2 carriles de tráfico, usted juzga la velocidad del tráfico en esos carriles. Usted asume que tiene una alta probabilidad de juzgar esa velocidad correctamente cuando cruza esos carriles. Si no hiciste esa suposición, probablemente no intentarás cruzar las pistas por temor a ser golpeado por otro automóvil.

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Suponemos que tenemos una baja probabilidad de ser golpeados por un rayo o un meteoro.

Cuando come con las manos, asume que su probabilidad de enfermarse de gérmenes en sus manos es baja. O no comerías con tus manos. Podría decir lo mismo de comer en un restaurante con referencia a la comida que no se preparó.

Dentro de asumir muchas probabilidades, creo que viviríamos constantemente con el temor de que nos puedan pasar cosas horribles.

Resumen de probabilidades:

Evento

Probabilidad

UN

No un

A o B

A y B

Un B dado

Otros casos donde la probabilidad puede ser observada:

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Lo has visto suceder muchas veces: un jugador en un juego de dados afirma que es «merecido» por los dobles;

los extraños descubren que tienen un conocimiento mutuo y piensan que esto debe ser más

que una reunión casual; un amigo juega la lotería obsesivamente o participa en concursos en línea con un

persistente sueño de ganar. Todos estos comportamientos reflejan cómo las personas perciben la probabilidad en

vida diaria. Las personas que carecen de un sentido preciso de la probabilidad son fácilmente atraídos por afirmaciones falsas

y pseudociencia, son vulnerables a esquemas de hacerse rico rápidamente, y exhiben muchas de las

comportamientos mencionados anteriormente.

El modelado y la medición de las probabilidades son los fundamentos de las matemáticas que

se puede aplicar al mundo que nos rodea. Cada evento, cada medida, cada juego, cada

accidente, e incluso la naturaleza de la materia misma se entiende a través de modelos probabilísticos, pero

pocas personas tienen una buena comprensión de la naturaleza de la probabilidad.

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Los frecuentistas hablan de probabilidades solo cuando se trata de experimentos aleatorios y bien definidos. La probabilidad de un evento aleatorio denota la frecuencia relativa de ocurrencia del resultado de un experimento al repetir el experimento. Los frecuentistas consideran que la probabilidad es la frecuencia relativa «a largo plazo» de los resultados.

Bayesianos, sin embargo, asignan probabilidades a cualquier declaración, incluso cuando no se trata de un proceso aleatorio. La probabilidad, para un bayesiano, es una forma de representar el grado de creencia de un individuo en una declaración, o un grado objetivo de creencia racional, dada la evidencia.

Relación con la aleatoriedad:

En un universo determinista, basado en conceptos newtonianos, no hay probabilidad si se conocen todas las condiciones. En el caso de una rueda de ruleta, si se conoce la fuerza de la mano y el período de esa fuerza, entonces el número en el que la bola se detendrá sería una certeza. Por supuesto, esto también asume el conocimiento de la inercia y la fricción de la rueda, el peso, la suavidad y la redondez de la bola, las variaciones en la velocidad de la mano durante el giro y demás. Una descripción probabilística puede ser, por lo tanto, más útil que la mecánica newtoniana para analizar el patrón de resultados de repetidos rollos de ruleta. Los físicos enfrentan la misma situación en la teoría cinética de los gases, donde el sistema, aunque determinista en principio, es tan complejo (con el número de moléculas típicamente del orden de magnitud de Avogadro constante 6.02 · 1023) que solo la descripción estadística de sus propiedades es factible.

Un descubrimiento revolucionario de la física del siglo XX fue el carácter aleatorio de todos los procesos físicos que ocurren a escalas subatómicas y se rigen por las leyes de la mecánica cuántica. La función de onda en sí misma evoluciona de manera determinista siempre que no se haga ninguna observación, pero, de acuerdo con la interpretación prevaleciente de Copenhague, la aleatoriedad causada por la función de onda colapsando cuando se realiza una observación, es fundamental. Esto significa que la teoría de la probabilidad es necesaria para describir la naturaleza. Otros nunca llegaron a un acuerdo con la pérdida del determinismo. Albert Einstein hizo una famosa frase en una carta a Max Born: Estoy convencido de que Dios no juega a los dados. Aunque existen puntos de vista alternativos, como el de la coherencia cuántica que es la causa de un aparente colapso aleatorio, en la actualidad existe un firme consenso entre los físicos de que la teoría de la probabilidad es necesaria para describir los fenómenos cuánticos.

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