Diferencia entre Números Racionales e Irracionales

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Diferencia entre Números Racionales e Irracionales

El término «números» trae a nuestra mente lo que generalmente se clasifica como valores enteros positivos mayores que cero. Otras clases de números incluyen números enteros y fracciones, números complejos y reales y también valores enteros negativos.

Extendiendo las clasificaciones de los números aún más, encontramos números racionales e irracionales. Un número racional es un número que se puede escribir como una fracción. En otras palabras, el número racional se puede escribir como una proporción de dos números.

Considere, por ejemplo, el número 6. Se puede escribir como la proporción de dos números a saber. 6 y 1, lo que lleva a la relación 6/1. Del mismo modo, 2/3, que se escribe como una fracción, es un número racional.

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Por lo tanto, podemos definir un número racional, como un número escrito en forma de una fracción, en el que tanto el numerador (el número en la parte superior) como el denominador (el número en la parte inferior) son números enteros. Por definición, por lo tanto, cada número entero es también un número racional.

Una proporción de dos números grandes, como (129,367,871) / (547,724,863) también constituiría un ejemplo de un número racional por la sencilla razón de que tanto el numerador como el denominador son números enteros.

A la inversa, cualquier número que no pueda expresarse en forma de fracción o proporción se denomina irracional. El ejemplo más comúnmente citado de un número irracional es √2 (1.414213…). Otro ejemplo popular de un número irracional es la constante numérica π (3.141592…).

Un número irracional se puede escribir como un decimal, pero no como una fracción. Los números irracionales no se usan a menudo en la vida diaria, aunque existen en la recta numérica. Hay un número infinito de números irracionales entre 0 y 1 en la recta numérica. Un número irracional tiene infinitos dígitos no repetidos a la derecha del punto decimal.

Tenga en cuenta que el valor citado a menudo de 22/7 para la constante π es de hecho solo uno de los valores de π. Por definición, la circunferencia de un círculo dividido por el doble de su radio es el valor de π. Esto conduce a múltiples valores de π, que incluyen, entre otros, 333/106, 355/113 y así sucesivamente1.

Sólo las raíces cuadradas de los números cuadrados; es decir, las raíces cuadradas de los cuadrados perfectos son racionales.

√1 = 1 (Racional)

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√2 (irracional)

√3 (irracional)

√4 = 2 (Racional)

√5, √6, √7, √8 (irracional)

√9 = 3 (racional) y así sucesivamente.

Además, notamos que, solo las décimas raíces de los poderes son racionales. Por lo tanto, la sexta raíz de 64 es racional, porque 64 es una sexta potencia, es decir, la sexta potencia de 2. Pero la sexta raíz de 63 es irracional. 63 no es una 6ª potencia perfecta.

Inevitablemente, la representación decimal de los irracionales aparece en la imagen y plantea algunos resultados interesantes.

Cuando expresamos un número racional como decimal, entonces el decimal será exacto (como en 1/5 = 0.20) o será inexacto (como en, 1/3 ≈ 0.3333). En cualquier caso, habrá un patrón de dígitos predecible. Tenga en cuenta que cuando un número irracional se expresa como un decimal, claramente será inexacto, porque de lo contrario, el número sería racional.

Además, no habrá un patrón predecible de dígitos. Por ejemplo,

√2 ≈1.4142135623730950488016887242097

Ahora, con números racionales, ocasionalmente encontramos 1/11 = 0.0909090.

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El uso tanto del signo igual (=) como de los tres puntos (puntos suspensivos) implica que, aunque no es posible expresar 1/11 exactamente como un decimal, todavía podemos aproximarlo con tantos dígitos decimales como sea posible para acercarse a 1 / 11.

Por lo tanto, la forma decimal de 1/11 se considera inexacta. De la misma manera, la forma decimal de ¼ que es 0.25, es exacta.

Llegando a la forma decimal para números irracionales, siempre serán inexactos. Continuando con el ejemplo de √2, cuando escribimos √2 = 1.41421356237. . . (note el uso de puntos suspensivos), inmediatamente implica que ningún decimal para √2 será exacto. Además, no habrá un patrón predecible de dígitos. Usando conceptos de métodos numéricos, nuevamente, podemos aproximarnos racionalmente a tantos dígitos decimales como hasta el punto en que estamos cerca de √2.

Cualquier nota sobre números racionales e irracionales no puede terminar sin la prueba obligatoria de por qué √2 es irracional. Al hacerlo, también dilucidamos, el ejemplo clásico de una prueba por contradicción.

Supongamos que √2 es racional. Esto nos lleva a representarlo como una proporción de dos enteros, por ejemplo, p y q.

√2 = p / q

No hace falta decir que p y q no tienen factores comunes, ya que si hubiera algún factor común, los habríamos cancelado del numerador y del denominador.

Al cuadrar ambos lados de la ecuación, terminamos con,

2 = p2 / q2

Esto se puede escribir convenientemente como,

p2 = 2q2

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La última ecuación sugiere que p2 es par. Esto es posible solo si p es par. Esto a su vez implica que p2 es divisible por 4. Por lo tanto, q2 y, en consecuencia, q debe ser par. Entonces, p y q son iguales, lo que contradice nuestra suposición inicial de que no tienen factores comunes. Por lo tanto, √2 no puede ser racional.

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